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수체계차원론1-7.pdf

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위 링크 글을 먼저 읽으시면 됩니다.

괴델의 불완전성 정리(영어: Gödel’s incompleteness theorems)는 수리논리학에서 페아노 공리계를 포함하는

모든 무모순적 공리계는 참인 일부 명제를 증명할 수 없으며, 특히 스스로의 무모순성을 증명할 수 없다는 정리다.

위의 정리는 결론을 이해하는 것도 힘들고, 증명을 이해하는 것도 힘들 수 있습니다. 그런데 그 증명이 옳다는 것을 알고 있기 때문에

다른 증명이나 예시를 통해서 괴델의 불완전성정리가 의미하는 것이 무엇인지는 좀 더 쉽게 이해할 수 있는 방법이 있습니다.

쉽게 말해서 답이 있다는 것을 알게되면 그것을 다른식으로 쉽게 이해하는 방법을 찾을 수 있다는 겁니다.

먼저 '모든 무모순적 공리계는 참인 일부 명제를 증명할 수 없다.' 부터 이해해봅시다.

무모순이라는 것은 쉽게 말해서 특별한 경우를 인정하지 않는 일반화를 의미합니다.

예를 들어 '모든 변화는 연속이다'의 공리의 경우 '모든' 이란 단어가 들어갔기 때문에 일반화가 되었다는 것이죠.

다시 말해서 '미시입자는 불연속으로 변화하고 거시입자는 연속으로 변화한다' 라는 전제는 모순적이지만

위의 "모든'이 들어간 경우는 모순적이지 않고 일반화된 무모순의 명제라는 것입니다.

따라서 상대론의 공리가 '모든 변화는 연속이다' 라면 불연속으로 변화하는 '참인 현상'이 있을 경우 그것을 증명(설명)할 수 없다는 것이죠.

다음은 '무모순적인 공리계는 스스로의 무모순성을 증명할 수 없다는 정리다.' 를 이해해 봅시다.

제 설명을 이해하신 분들은 모순성이라는 것은 기준에 따라 달라지는 상대성이라고 이해할 수 있을 겁니다.

결국 무모순성이란 무상대성이며 즉, 무모순적 공리계는 스스로 상대성이 없다는 것을 증명할 수 없다는 의미가 됩니다.

그런데 전에 설명했듯이 '모든 (입자성을 가진 것들의) 변화는 연속이다' 란 공리를 가진 상대론의 경우 시간의 상대성(모순성)이 있었고

'모든 (입자성을 가진 것들의) 변화는 불연속이다'라는 공리를 가진 경우 질량의 상대성이란 모순성이 생기게 됩니다.

따라서 인간이 무모순적 공리계라 생각하는 공리계는 모순성이 없다는 것을 증명할 수 없고 오히려 모순성이 있다는 겁니다.

수학적인 예를 들자면 수학의 경우 어떤 점을 좌표의 기준으로 삼느냐에 다른 좌표들의 값도 달라지는 것을 들 수 있겠죠.

결국 어떤 공리계가 무모순적으로 일반화 될 경우 괴델의 정리가 옳다는 겁니다.

* 본인이 생각을 아래의 보기에서 한번 골라봅시다(만약 자신의 생각이 학계에 없는 것이라면 관련해서 논문을 써보세요.).

1. 입자와 질량체의 변화는 연속인가 불연속인가?

① 미시(입자)는 불연속이고 거시는 연속이다.

② 미시와 거시 둘 다 연속이다.

③ 미시와 거시 둘 다 불연속이다.

④ 미시는 연속, 거시는 불연속이다.

⑤ 미시와 거시는 연속일 때도 있고 불연속일 때도 있다.

2. 빛이 절대속도라면 그 이유는 무엇일까?

① 자연이 그냥 그런거니 알 수 없거나 알 필요없다.

② 변화가 연속이라도 빛은 절대속도 일 수 있다(그렇다면 당신은 그 이유를 설명할 수 있는가?)

③ 모든 입자와 질량체의 변화가 불연속이라면 빛은 절대속도이다.

④ 광속이 절대속도가 아니라고 생각한다. 또는 상대속도라고 생각한다.

⑤ 광속은 때에 따라 절대속도 일수도 상대속도 일수도 있다고 생각한다.

⑥ 변화의 연속, 불연속과 빛의 절대속도는 상관이 없다.

3. 상대론은 '질량이 절대적일 때 시간이 상대적이다.'라는 명제가 존재하는 이론입니다.

그럼 그 대우도 참이며 '시간이 절대적일 경우 질량이 상대적이다.'란 명제도 참이 됩니다.

그럼 시간이 절대적이게 되려면 어떻게 되어야 할까요?(복수선택 가능)

① 변화가 연속이어야 한다.

② 변화가 불연속이어야 한다.

③ 변화가 어떻든 시간의 절대성과는 상관이 없다.

④ 확실한 건 결국 질문의 두 명제 중 하나만 맞고 상대론의 명제만 맞을 것 같다.

⑤ 확실한 건 결국 질문의 두 명제 중 하나만 맞고 두번째 명제만 맞을 것 같다.

⑥ 두 명제 모두 이론적으로 맞지만 하나만 현상적으로 옳다.

4. 상대론과 양자역학은 각각 옳은 이론이라 생각하는가? 아니면 어느 한쪽이 다른 이론을 설명할 수 있는 이론이라 생각하는가?

① 상대론이 양자역학을 포함할 것이라 본다.

② 양자역학이 상대론을 포함할 것이라 본다.

③ 둘 다 틀렸고 제 3의 이론이 있을거라 본다.

④ 거시는 상대론 미시는 양자역학으로 각각 옳다.

5. 3번의 질문이 틀렸다면 현재의 물리학은 질량과 시간의 관계에 대해서 어떻게 설명하는가?

① 질량도 시간도 모두 절대적이다.

② 질량도 시간도 모두 상대적이다.

③ 질량은 절대적 시간은 상대적이다.

④ 질량은 상대적 시간은 절대적이다.

⑤ 질량과 시간은 딱히 관계가 없다.

6. 뉴턴의 이론은 상대론이 나온 후에도 여전히 이론적으로 옳은가?

① 이론적으로 틀렸다.

② 이론적으로는 여전히 옳지만 현상적으로는 틀렸다.

③ 이론적으로 좀 더 보완할 필요가 있을 뿐 여전히 옳다.

④ 이론적으로도 현상적으로도 틀렸다.